如何惩治不牵牵引绳的狗主人？
如果我是这个案子的律师，我会建议我的当事人坚决不上诉。 不是因为没有胜算的概率，而是因为这个案子对于社会的价值意义不大。 因为我们很难改变爱狗人的想法，即便这次赢了，下次遇到相同的情况他们还是会这么做的。 我们也不能期望法律去制裁每一个不文明养犬的人，毕竟我们的法律现阶段还很难做到对每个公民的行为都进行约束和惩罚。 而且，从题主提供的信息看，本案也不符合“重大事故”的构成要件，因此不能要求对方承担刑事附带民事侵权责任（因为刑事责任和民事责任是不同的责任形式，只有同时满足一定条件的违法者才可能同时承担这两种责任）。 本案最可能的结局就是，双方协商解决——要求对方赔偿因惊吓造成的疾病治疗费用；要求对方今后必须文明养犬并栓绳。如果不能协商一致，就打官司吧。
其实，本案最好的处理方式是，原告撤销诉讼，被告法院缺席审判。 既然被告已经承认了不文明养狗的事实，并且愿意接受调解，就应当允许原告撤诉。 但前提是被告必须书面承诺今后守法养犬并在适当场合牵绳。 如果不愿意撤诉，法院也可以直接判决。但是这样判决的效力应该不及被告自行书面承诺的效力。 总之，我认为本案最关键的点在于，无论何种方式处理，都必须让被告认识到自己行为的非法性和危险性，从而主动改正违法行为。